Formule des intérêts composés : variables, variantes et limites

La formule des intérêts composés que l’on trouve partout répond à une question que peu d’épargnants se posent réellement : ce que devient une somme déposée une fois et jamais touchée. Les versements réguliers relèvent d’une autre équation.

Cherchez la formule des intérêts composés et la même expression revient partout : A = P × (1 + r/n)^(n×t). Elle est juste. Elle décrit aussi un cas dans lequel presque personne ne se trouve, puisqu’elle suppose une somme placée une fois et laissée intacte. Dès que des versements mensuels entrent en jeu, cette équation cesse de décrire la situation, et l’écart entre les deux réponses explique l’essentiel des erreurs de projection.

La formule est exacte. C’est le taux qu’on y met qui ment.

La formule de base et ce que chaque variable dissimule

Dans A = P × (1 + r/n)^(n×t), P désigne le capital initial, r le taux annuel nominal exprimé en décimal, n le nombre de périodes de capitalisation par an, et t la durée en années. L’exposant n×t compte le nombre total de périodes ; le facteur r/n répartit le taux annuel entre elles.

Cette répartition est une convention, pas une équivalence. À 5 % annuel, r/12 donne un taux mensuel de 0,4167 %, alors que le taux qui capitalise réellement à 5 % sur douze mois vaut (1,05)^(1/12) − 1 = 0,4074 %. L’écart reste inférieur à un dixième de point, ce qui explique la survie de la convention, mais il explique aussi pourquoi un calcul mensuel finit légèrement au-dessus de son équivalent annuel plutôt que rigoureusement égal.

La conséquence pratique va à l’encontre de l’intuition. Sur 10 000 € à 5 % pendant 20 ans, la capitalisation annuelle donne 26 533 €, la mensuelle 27 126 €, la quotidienne 27 181 €. Passer de l’annuel au mensuel ajoute 593 € sur deux décennies. Passer du mensuel au quotidien en ajoute 55. La fréquence de capitalisation est une variable de second ordre, quand le taux et l’horizon sont de premier ordre.

La formule avec versements réguliers, celle dont on a réellement besoin

Quand l’argent arrive périodiquement, chaque versement capitalise sur une durée résiduelle différente. Le premier travaille sur toute la période, le dernier sur une seule échéance. La somme de cette série géométrique donne la valeur future d’une annuité de fin de période, qui s’ajoute au capital initial capitalisé :

VF = P × (1 + i)^N + VER × [((1 + i)^N − 1) / i], où i est le taux périodique, N le nombre de périodes et VER le montant versé à chaque échéance.

Appliquée à 200 € par mois pendant 20 ans à 5 % annuel (i = 0,4167 %, N = 240), la série de versements atteint 82 207 € pour 48 000 € effectivement versés, soit 34 207 € issus de la capitalisation. En ajoutant 10 000 € de capital de départ, le total atteint 109 333 €, dont 27 126 € pour le seul capital initial. Le flux apporte trois fois ce qu’apporte la somme initiale. Un calculateur d’intérêts composés paramétrable rend la substitution des variables plus lisible que l’algèbre.

C’est également ici que la convention de fin de période compte. La formule ci-dessus suppose un versement à la fin de chaque échéance. Verser en début de période multiplie tout le terme d’annuité par (1 + i), ce qui revient à ajouter une période de capitalisation à l’ensemble du flux.

Capitalisation continue et l’apparition de la constante e

Augmenter n sans limite n’envoie pas le résultat à l’infini. Quand n croît, (1 + r/n)^(n×t) converge vers e^(r×t), d’où A = P × e^(r×t). À 5 % sur 20 ans pour 10 000 €, ce plafond s’établit à 27 183 €, exactement 56 € au-dessus de la capitalisation mensuelle.

La capitalisation continue n’est donc pas une hypothèse plus agressive. C’est la borne supérieure de la famille, et son utilité est analytique plutôt que commerciale : elle transforme un produit discret en une exponentielle qui se dérive proprement, ce qui explique sa présence dans la valorisation des dérivés et son absence sur un relevé d’épargne.

Du nominal au réel : diviser, pas soustraire

Un rendement nominal net d’inflation ne s’obtient pas par soustraction. La relation exacte, due à Fisher, s’écrit réel = (1 + r) / (1 + π) − 1, où π désigne l’inflation sur la même période.

Avec 5 % nominal et 2 % d’inflation, la soustraction donne 3 % quand le chiffre exact vaut 2,9412 %. Les 0,06 point paraissent négligeables jusqu’à ce qu’ils capitalisent : sur 10 000 € pendant 20 ans, le taux approché projette 18 061 € contre 17 856 € pour le taux exact, soit 205 € de surestimation. L’erreur croît avec l’horizon et avec le niveau d’inflation, ce qui rend le raccourci intenable précisément dans les régimes où la question du rendement réel devient centrale. Le même mécanisme joue sur le capital déjà constitué, comme le détaille notre note sur l’érosion du pouvoir d’achat par l’inflation.

Ce que la formule suppose et ne peut pas capter

Toutes les versions ci-dessus maintiennent le taux constant. Les rendements réels arrivent en séquence, et la séquence modifie le résultat même quand la moyenne ne bouge pas. Un portefeuille qui gagne 50 % puis perd 50 % affiche une moyenne arithmétique de 0 % et une valeur terminale inférieure de 25 % à son point de départ. Sa moyenne géométrique, c’est-à-dire le taux qui reproduit effectivement le chemin observé, vaut −13,40 %. La formule des intérêts composés n’accepte que des taux géométriques : lui fournir une moyenne arithmétique gonfle silencieusement toute projection.

La règle de 72 relève de la même famille de raccourcis. Diviser 72 par le taux estime le temps de doublement, avec une précision étroite : à 10 % elle donne 7,2 ans contre 7,27 exact, à 5 % elle donne 14,4 contre 14,21, et à 2 % elle donne 36 contre 35,0. L’expression exacte est ln(2) / ln(1 + r). L’approximation est calibrée pour des taux voisins de 8 % et se dégrade de part et d’autre, ce qui la rend utile au calcul mental et inutilisable pour une projection sur laquelle on compte s’appuyer. La distinction vaut aussi en amont du calcul, où ce qui sépare épargne et placement conditionne le taux que l’on peut légitimement retenir.

Questions fréquentes

Quelle est la formule des intérêts composés avec versements mensuels ?

VF = P × (1 + i)^N + VER × [((1 + i)^N − 1) / i], avec i le taux mensuel et N le nombre de mois. Le premier terme capitalise le capital de départ, le second additionne chaque versement capitalisé sur sa durée résiduelle propre. Pour 200 € par mois à 5 % annuel pendant 20 ans, il renvoie 82 207 € pour 48 000 € versés.

Comment calculer des intérêts composés mensuels ?

En posant n = 12 dans la formule de base, soit A = P × (1 + r/12)^(12×t). À noter que r/12 est une convention et non l’équivalent mensuel exact du taux annuel : à 5 % annuel, r/12 donne 0,4167 % quand le taux mensuel strictement équivalent vaut 0,4074 %. C’est la raison pour laquelle une capitalisation mensuelle produit un peu plus qu’une capitalisation annuelle au même taux affiché.

Quelle différence entre intérêts simples et intérêts composés ?

Les intérêts simples s’appliquent au seul capital initial, d’où une croissance linéaire : 10 000 € à 5 % sur 20 ans produisent 10 000 € d’intérêts. Les intérêts composés s’appliquent au solde accumulé, d’où une croissance exponentielle, et le même cas produit 16 533 €. L’écart provient entièrement des intérêts qui produisent eux-mêmes des intérêts.

Pourquoi la formule donne-t-elle un résultat différent selon les sources ?

Presque toujours parce que la convention de capitalisation diffère. Les capitalisations annuelle, mensuelle, quotidienne et continue produisent quatre chiffres distincts à partir du même taux affiché, et la présence ou l’absence de versements en produit deux de plus. Comparer deux résultats suppose de vérifier n, le moment du versement dans la période, et si le taux annoncé est nominal ou effectif.

Les intérêts composés font partie des rares domaines de la finance où l’arithmétique est réglée et où le désaccord porte entièrement sur les entrées. Ce qui rappelle utilement qu’une projection ne vaut jamais mieux que l’hypothèse de taux qui l’habite.

Mis à jour le 13 août 2026